+\begin{figure}[htbp]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.5\linewidth]{figures/construction-ellipse.pdf}
+ \caption{Le triplet de point $p_1$, $p_2$ et $p_3$ ainsi que les deux vecteurs du gradient $v_1$ et $v_2$ permettent possiblement la construction d'une ellipse. $m_1$ et $m_2$ sont les droites perpendiculaires à $v_1$ respectivement $v_2$ et passant par les points associés}
+ \label{fig:construction-ellipse}
+\end{figure}
+
+À partir de chaque triplet de point et des deux vecteurs du gradient des deux premiers points une ellipse va tenter d'être construite comme montrer par la figure~\ref{fig:construction-ellipse}. Tout d'abord il faut s'assurer que les deux vecteurs $v_1$ et $v_2$ pointent bien dans le bon sens, c'est à dire vers le centre de l'ellipse. Pour cela il faut vérifier que les sens de rotation de $p_1$ et $p_2$ donné par $v_1$ et $v_2$ par rapport au pivot $p_0$ soient différents et que l'angle formé entre les deux droites $d_1$ et $d_2$ soit strictement inférieur à $\pi$. La figure~\ref{fig:construction-ellipse-vecteurs-valides} illustre ces différents cas.
+
+\begin{figure}[htbp]
+ \centering
+ \begin{subfigure}[t]{0.3\textwidth}
+ \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/ellipses/construction-ellipse-vecteurs-valides-3.pdf}
+ \caption{Triplet invalide : sens contraire des vecteurs par rapport à $p_0$}
+ \label{fig:construction-ellipse-vecteurs-valides-3}
+ \end{subfigure}
+ ~
+ \begin{subfigure}[t]{0.3\textwidth}
+ \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/ellipses/construction-ellipse-vecteurs-valides-2.pdf}
+ \caption{Triplet invalide : $\alpha \geqslant \pi$}
+ \label{fig:construction-ellipse-vecteurs-valides-2}
+ \end{subfigure}
+ ~
+ \begin{subfigure}[t]{0.3\textwidth}
+ \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/ellipses/construction-ellipse-vecteurs-valides-1.pdf}
+ \caption{Triplet valide : $\alpha < \pi$}
+ \label{fig:construction-ellipse-vecteurs-valides-1}
+ \end{subfigure}
+ \caption{Cas des triplet}
+ \label{fig:construction-ellipse-vecteurs-valides}
+\end{figure}
+
+Tout d'abord le point $p_0$ est calculé comme montré par les équations~\ref{eq:p0-debut} à~\ref{eq:p0-fin}. Si $m_1 = m_2$, alors $p_0$ est définit comme étant le point à l'infini. Si les conditions de la figure~\ref{fig:construction-ellipse-vecteurs-valides-1} sont respectées alors une conique est construite à partir des quatre points $p_0$, $p_1$, $p_2$ et $p_3$. Si cette conique est une ellipse valide alors elle est ajouté à l'ensemble des ellipses.
+
+{\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
+\begin{flalign}
+ \label{eq:p0-debut}
+ m_1 &= -v_{1_x} / v_{1_y} \\
+ m_2 &= -v_{2_x} / v_{2_y} \\
+ b_1 &= -m_1 p_{1_x} + p_{1_y} \\
+ b_2 &= -m_2 p_{2_x} + p_{2_y} \\
+ d_1(x) &= y = m_1 x + b_1 \\
+ d_2(x) &= y = m_2 x + b_2 \\
+ p_{0_x} &= -(b_1 - b_2) / (m_1 - m_2) \\
+ p_{0_y} &= -(m_2 * b_1 - m_1 * b_2) / (m_1 - m_2) \label{eq:p0-fin}
+\end{flalign}
+
+La construction d'une ellipse est décrite si après. Dans le repère projectif $\{\upsilon_0, \upsilon_1, \upsilon_2, \upsilon_3\}$ lié à la conique où $\upsilon_0 = \begin{pmatrix}1 & p_{0_x} & p_{0_y}\end{pmatrix}, \; \upsilon_1 = \begin{pmatrix}1 & p_{1_x} & p_{1_y}\end{pmatrix}, \; \upsilon_2 = \begin{pmatrix}1 & p_{2_x} & p_{2_y}\end{pmatrix}, \; \upsilon_3 = \begin{pmatrix}1 & p_{3_x} & p_{3_y}\end{pmatrix}$. Si $p_0$ est à l'infini alors $\upsilon_0 = \begin{pmatrix}0 & * & *\end{pmatrix}$. L'équation de la conique est la suivante :
+
+{\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
+\begin{flalign}
+ T^2 &= X Y \\
+ S &= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1/2 \\ 0 & -1/2 & 0\end{pmatrix}
+\end{flalign}
+
+Changement de repère projectif par la matrice de passage $P$ ($3 \times 3$) :
+
+{\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
+\begin{flalign}
+ P &= \begin{pmatrix}
+ det(\upsilon_3, \upsilon_1, \upsilon_2) \, \upsilon_0 \\
+ det(\upsilon_0, \upsilon_3, \upsilon_2) \, \upsilon_1 \\
+ det(\upsilon_0, \upsilon_1, \upsilon_3) \, \upsilon_2
+ \end{pmatrix}
+\end{flalign}
+
+Matrice de la conique dans le repère projectif de référence :
+
+{\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
+\begin{flalign}
+ \begin{pmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F\end{pmatrix} &= P \cdot S^{-1} \cdot P^\top
+\end{flalign}
+
+Le centre est définit comme suit :
+
+{\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
+\begin{flalign}
+ (\alpha, \; \beta) = (B/A, \; D/A)
+\end{flalign}
+
+Les tailles des deux rayons son données par $1/\sqrt{\lambda}$ et $1/\sqrt{\mu}$ où $\lambda$ et $\mu$ sont les valeurs propres de la matrice $Q$. Les vecteurs propres de $Q$ donnent les directions des deux axes de l'ellipse. La matrice $Q$ est calculé comme suit :
+
+{\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
+\begin{flalign}
+ Ã &= E^2 - C F + (B F - E D) \alpha + (C D - B E) \beta \\
+ Q &= Ã^{-1} \begin{pmatrix}A F - D^2 & B D - A E \\
+ B D - A E & A C - B^2\end{pmatrix}
+\end{flalign}
+
+
+\subsubsection{Calcul du score des ellipses}
+
+% Détailler le calcul du nombre de pick (valid + max)
+
+\subsubsection{Élagage des ellipses}
+
+% suppression uniquement
+
+
+\begin{figure}[htbp]
+ \centering
+ \begin{subfigure}[t]{0.4\textwidth}
+ \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/ellipses/exemple-1-green-filtered.jpg}
+ \caption{Image initiale pour la recherche d'ellipses. Composante verte flouté dont le centre clair des érythrocytes a été ouvert}
+ \label{fig:exemple-ellipses-1}
+ \end{subfigure}
+ ~
+ \begin{subfigure}[t]{0.4\textwidth}
+ \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/ellipses/exemple-2-edges.png}
+ \caption{Bords des cellules : éléments pour lesquels le gradient est non-null}
+ \label{fig:exemple-ellipses-2}
+ \end{subfigure}
+ ~
+ \begin{subfigure}[t]{0.4\textwidth}
+ \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/ellipses/exemple-3-all-ellipses.jpg}
+ \caption{L'ensemble des ellipses accumulées dessiné sur l'image initiale}
+ \label{fig:exemple-ellipses-3}
+ \end{subfigure}
+ ~
+ \begin{subfigure}[t]{0.4\textwidth}
+ \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/ellipses/exemple-4-ellipses.jpg}
+ \caption{Le résultat final après élagage, il est a noter certaines ellipses }
+ \label{fig:exemple-ellipses-4}
+ \end{subfigure}
+ \caption{Aperçu du processus de recherche d'érythrocytes par ajustement d'ellipses. Le gradient n'est pas représenté}
+ \label{fig:exemple-ellipses}
+\end{figure}