fractals.php

   1 <?php include 'common_header.php'; ?>
   2 <html xmlns:v="urn:schemas-microsoft-com:vml" xmlns:o="urn:schemas-microsoft-com:office:office" xmlns="http://www.w3.org/TR/REC-html40">
   3
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   9
  10 <title>Power Fractal - Fractals</title>
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  12 <style>
  13 v\:*         { behavior: url(#default#VML) }
  14 o\:*         { behavior: url(#default#VML) }
  15 .shape       { behavior: url(#default#VML) }
  16 </style>
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  18 <xml><o:shapedefaults v:ext="edit" spidmax="1027"/>
  19 </xml><![endif]-->
  20 </head>
  21
  22
  23
  24
  25 <body>
  26 <p>&nbsp;</p>
  27 <div align="center">
  28   <center>
  29   <table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse" bordercolor="#111111" width="728" id="AutoNumber1" height="497">
  30     <tr>
  31       <td width="800" colspan="4" height="80" nowrap>
  32       <p align="center">
  33       <img border="0" src="images/titre.jpg" align="left" width="800" height="80" /></p>
  34       </td>
  35     </tr>
  36     <tr>
  37       <!-- MENU -->
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  40                 ?></td>
  41       <td width="20" valign="top" rowspan="4" height="417" nowrap>
  42       <p align="left">&nbsp;</p>
  43       </td>
  44       <td width="660" height="5" valign="top" nowrap></td>
  45       <td width="20" valign="top" rowspan="4" height="417" nowrap>&nbsp;</td>
  46     </tr>
  47     <tr>
  48       <td width="660" height="20" nowrap bordercolor="#000000" bgcolor="#000000">
  49       <p align="center"><font color="#FFFFFF">Fractals</font></p>
  50       </td>
  51     </tr>
  52     <tr>
  53       <td width="660" valign="top" height="5" nowrap></td>
  54     </tr>
  55     <tr>
  56       <td width="660" valign="top" height="424" nowrap>
  57       <b>Qu\92est-ce qu\92une fractal ?</b><p>Une image fractal est obtenue en
  58       partant d\92un objet graphique et en lui appliquant une transformation
  59       récursive qui ajoute à chaque étape un élément de complexité. </p>
  60       <p>Exemple d\92une image fractals, \91Le Flocon de Koch' : </p>
  61
  62       <p><img border="0" src="images/koch.jpg" width="443" height="101"></p>
  63
  64       <p>A chaque itération, le 1/3 central de chaque coté est remplacé par deux
  65       segments de même longueur que celui retiré. Une des la principale
  66       caractéristiques des fractals est que l\92on peut agrandir la figure autant
  67       qu\92on le souhaite, on observera toujours les mêmes détails. </p>
  68       <p><b>Utilisation des nombres complexes</b></p>
  69       <p>On peut appliquer cette idée à un objet mathématique tel que les
  70       nombres complexes. Pour chaque point du plan complexe, une série répétée
  71       d\92opérations est effectuée : </p>
  72       <p><b><i><span style="font-size: 12.0pt; font-family: Times New Roman">
  73       <span style="position: relative; top: 7.0pt"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75"
  74  coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe"
  75  filled="f" stroked="f">
  76  <v:stroke joinstyle="miter"/>
  77  <v:formulas>
  78   <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
  79   <v:f eqn="sum @0 1 0"/>
  80   <v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
  81   <v:f eqn="prod @2 1 2"/>
  82   <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
  83   <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
  84   <v:f eqn="sum @0 0 1"/>
  85   <v:f eqn="prod @6 1 2"/>
  86   <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
  87   <v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
  88   <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
  89   <v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
  90  </v:formulas>
  91  <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
  92  <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
  93 </v:shapetype><v:shape id="_x0000_s1026" type="#_x0000_t75" style='width:21pt;
  94  height:18.75pt' fillcolor="window">
  95  <v:imagedata src="fractals_files/image001.wmz" o:title=""/>
  96 </v:shape><![endif]--><![if !vml]><img border=0 width=28 height=25
  97 src="fractals_files/image002.gif" v:shapes="_x0000_s1026"><![endif]></span><!--[if gte mso 9]><xml>
  98       <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1060449224">
  99       </o:OLEObject>
 100       </xml><![endif]--></span></i></b>: Point du plan complexe à traiter </p>
 101       <p><b><i><span style="font-size: 12.0pt; font-family: Times New Roman">
 102       <span style="position: relative; top: 7.0pt"><!--[if gte vml 1]><v:shape
 103  id="_x0000_s1027" type="#_x0000_t75" style='width:78pt;height:20.25pt'
 104  fillcolor="window">
 105  <v:imagedata src="fractals_files/image003.wmz" o:title=""/>
 106 </v:shape><![endif]--><![if !vml]><img border=0 width=104 height=27
 107 src="fractals_files/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1027"><![endif]></span><!--[if gte mso 9]><xml>
 108       <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1060449251">
 109       </o:OLEObject>
 110       </xml><![endif]--></span></i></b></p>
 111       <p></p>
 112       <p>où : </p>
 113       <p><i>n</i> : est le nombre d\92itérations </p>
 114       <p><i>c</i> : une constante complexe : </p>
 115       <table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse" bordercolor="#111111" width="660" id="AutoNumber2">
 116         <tr>
 117           <td width="31">&nbsp;</td>
 118           <td width="629">- dans le cas de l\92ensemble de Julia c est fixé arbitrairement et est
 119       le même pour chaque point du plan.
 120       <p>- dans le cas de l\92ensemble de Mandelbrot c est égal à Z<sub>(0)</sub>, donc
 121       change en fonction du point traité. </p>
 122           </td>
 123         </tr>
 124       </table>
 125       <p><br>
 126       Il faut encore préciser un point : comment savoir si la fonction
 127       diverge pour un point du plan ? : <br>
 128       La solution consiste à vérifier que le module de Z reste inférieur à 2 </p>
 129       <p>Module de Z : <b><i>
 130       <span style="font-size: 12.0pt; font-family: Times New Roman">
 131       <span style="position: relative; top: 7.0pt"><!--[if gte vml 1]><v:shape
 132  id="_x0000_s1028" type="#_x0000_t75" style='width:74.25pt;height:23.25pt'
 133  fillcolor="window">
 134  <v:imagedata src="fractals_files/image005.wmz" o:title=""/>
 135 </v:shape><![endif]--><![if !vml]><img border=0 width=99 height=31
 136 src="fractals_files/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1028"><![endif]></span><!--[if gte mso 9]><xml>
 137       <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1060449348">
 138       </o:OLEObject>
 139       </xml><![endif]--></span></i></b></p>
 140       <p>&nbsp;</td>
 141     </tr>
 142   </table>
 143   </center>
 144 </div>
 145
 146 </body>
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 148 </body>
 149
 150 </html>