\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
+\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
+
\usepackage{graphicx}
\usepackage{listings}
\usepackage{url}
\subsubsection*{Question 1.3 : Quels sont les valeurs que l'on peut pré-calculer est stocker hormis $n$ et $d$ afin d'améliorer la vitesse de calcul d'une signature avec \emph{RSA-CRT} ?}
-[TODO]
+Les valeurs de $p$, $q$, $d_p$, $d_q$ et $q_{inv}$ sont mémorisées en tant que clef privée. Celles ci sont calculées comme suit.
+
+\begin{flalign*}
+ e &= 65537 \\
+ \mathbf{p, q} &&\text{deux nombres premiers de 512 bits choisis de manière aléatoire} \\
+ n &= p * q \\
+ \varphi(n) &= (p - 1) * (q - 1) \\
+ d &= e^{-1} ~(mod ~\varphi(n)) \\
+ \mathbf{d_p} &= d ~(mod ~p - 1) \\
+ \mathbf{d_q} &= d ~(mod ~q - 1) \\
+ \mathbf{q_{inv}} &= q^{-1} ~(mod p)
+\end{flalign*}
+
+
+La signature $sig$ du message $m$ peut être ensuite calculée comme suit.
+
+\begin{flalign*}
+ s_p &= m^{d_p} ~(mod ~p) &\\
+ s_q &= m^{d_q} ~(mod ~q) \\
+ \mathbf{sig} &= s_q + ((q_{inv} \cdot (s_p - s_q)) ~mod ~p) \cdot q
+\end{flalign*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctionnement}
-http://crypto.stanford.edu/~dabo/abstracts/faults.html
+D'après le document \cite{Boneh-DeMillo-Lipton-attack} :
-(maths)
+\begin{flalign*}
+ q &= gcd(m - sign'^e, n) &
+\end{flalign*}
+
+Où :
+
+\begin{itemize}
+ \item $m$ : le message signé avec $sign'$
+ \item $sign'$ : la signature calculé avec un $p$ altéré.
+\end{itemize}
+
+
+Nous pouvons alors facilement retrouver $p$:
+
+\begin{flalign*}
+ p &= n / q &
+\end{flalign*}
+
+Il est alors trivial de reconstituer la clef privée à partir de $p$ et $q$.
\subsubsection*{Question 2.1 : En pratique, comment est-il possible d'introduire des fautes dans l'implémentation d'un algorithme cryptographique ?}
+Voici une liste de techniques issues du document \cite{Barenghi-Breveglieri-Koren-Naccache-fault-injection} :
+\begin{itemize}
+ \item Variation du niveau de voltage de l'alimentation électrique ;
+ \item Injection d’irrégularités dans le \emph{clock} de l'horloge ;
+ \item Champs magnétique ;
+ \item Émission de radiations ;
+ \item Surchauffe de l'appareil ;
+ \item Exposition à une lumière intense.
+\end{itemize}
+
+
+\subsubsection*{Est-ce que cette attaque fonctionne dans le cas d'un bourrage non déterministe ?}
-\subsubsection*{Est-ce que cette attaque fonctionne dans le cas d'un bourrage non détérministe ?}
+
+
+
+\subsection{Implémentation}
+
+Cette attaque est illustrée dans la fonction \texttt{Tests::doAttack()}. Pour tester cette attaque :
+
+\begin{verbatim}
+qbs run -- attack
+\end{verbatim}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Conclusion}
-% http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_%28cryptosystem%29
+%
+% Fault Injection Attacks on Cryptographic Devices: Theory, Practice and Countermeasures
+
-%\bibliographystyle{plain}
-%\bibliography{main}
+\bibliographystyle{plain}
+\bibliography{main}
\end{document}